¿Por qué cuando la frecuencia se acerca a un polo o cero de un sistema, la pendiente de la magnitud de la función de transferencia cambia en 20dB / década? Siempre que veo esto establecido al leer sobre funciones de transferencia, nunca se explica. ¿Qué causa esta propiedad de las funciones de transferencia?
¿Ha leído sobre el roll-off? Wikipedia tiene una gran explicación de este tema. Básicamente, cuando tienes un polo o un cero de un sistema, estás representando, en este caso, la función de transferencia de un circuito:
Para expresar la magnitud en decibelios del sistema en un punto de frecuencia, use esta ecuación:
O expresada como una pérdida:
En frecuencias muy por encima de ω = 1, esto se simplifica a:
Ahora, si quieres saber la diferencia en decibelios entre frecuencias a, es posible que tenga que usar la misma ecuación, pero esta vez usando (ω2 / ω1) en el logaritmo.
Si la diferencia aquí es una década, o una frecuencia diez veces ω1, el logaritmo siempre será igual a 1. Luego, multiplica este resultado por 20 debido a la quinta ecuación, entonces tienes:
¡Eso es! Quizás de verdad quieras saber otra razón además de la que te di, pero se explica matemáticamente.
Esto es solo el resultado de la definición de polos y ceros de una función de transferencia. Una función de transferencia en el dominio de Laplace se escribe como $$ H (s) = \ frac {b_ms ^ m + ... + b_2s ^ 2 + b_1s + b_0} {a_ns ^ n + ... + a_2s ^ 2 + a_1s + a_0} $$ Al factorizar los polinomios (que a menudo no se logra fácilmente a mano) puedes reescribir esto como $$ H (s) = \ frac {(s-z_1) (s-z_2). .. (s-z_m)} {(s-p_1) (s-p_2) ... (s-p_n)}. $$ Esta forma es la que define los polos y ceros; los $ p_i $ son los polos y los $ z_i $ son los ceros.
Para ver cómo esto lleva a la regla de 20 dB por década, consideremos un ejemplo concreto: $$ H (s) = \ frac {(s-1000)} {(s-10) (s-100000)}. $$ He extendido intencionalmente los polos y ceros muy lejos para ilustrar el punto. Cuando $ s \ ll 10 $ (es decir, $ s $ es mucho más pequeño que todos los polos y ceros), entonces esto se reduce aproximadamente a $ H (s) \ approx \ frac {1000} {10 * 100000} $ y la transferencia la función es plana. Cuando $ s \ sim100 $ (es decir, mucho más grande que el primer polo pero más pequeño que el cero) se vuelve aproximadamente $ H (s) \ approx \ frac {1000} {s * 100000} $ y la función de transferencia cae a 20 dB por década. Al cruzar el cero, digamos $ s \ sim10000 $, la función de transferencia se convierte en aproximadamente $ H (s) \ approx \ frac {s} {s * 100000} = \ frac {1} {100000} $ y la función de transferencia es de nuevo plano. Finalmente, para $ s \ gg100000 $ la función de transferencia se convierte en aproximadamente $ H (s) \ approx \ frac {s} {s * s} = \ frac {1} {s} $, y vuelve a caer a 20 dB por década .
Honestamente, la mejor manera de familiarizarse con esta regla es simplemente trazar una serie de funciones de transferencia. Hay una herramienta en línea aquí que le permite escribir un número arbitrario de polos y ceros para ver cómo se ve el diagrama de Bode. El siguiente gráfico muestra su salida para el ejemplo que describí anteriormente, excepto que establece la ganancia de CC en 0 dB. La 'gráfica asintótica' es la aproximación que describí anteriormente, y la 'gráfica real' es la gráfica de Bode real de la función de transferencia.