Parece que está intentando derivar la función de transferencia del sistema, es decir, la relación entrada / salida en el dominio de frecuencia para condiciones iniciales cero.

$ G (s) = \ frac {Y (s)} {R (s)} $

Donde $ G (s) $ es la función de transferencia, $ Y (s) $ es la salida del sistema y $ R (s) $ es la entrada al sistema y puede ser una suma de cualquier número de entradas.

$ R (s) = R_1 (s) + R_2 (s) + ... + R_n (s) $

(Nota: normalmente en los sistemas y controles usamos $ U $ para las entradas, pero ya lo ha definido como un paso unitario en time = 0 en su pregunta, así que evitaré eso notación y use $ R $ en su lugar.)

Cómo tratar la fuerza gravitacional constante

En un sistema de masa traslacional, todas las fuerzas externas son entradas al sistema. La gravedad es una fuerza externa y, por lo tanto, debe incluirse en su término de entrada cuando deriva la función de transferencia. Por lo tanto, debería tener algo como esto:

$ m \ ddot {y } = x (t) + mg \ dot {} u (t) = r_1 (t) + r_2 (t) = r (t) $

Tomando la transformada de Laplace de ambos lados se obtiene:

$ ms ^ 2Y (s) = X (s) + \ frac {1} {s} mg $

$ ms ^ 2Y (s) = R_1 (s) + R_2 ( s) = R (s) $

$ G (s) = \ frac {Y (s)} {R (s)} = \ frac {1} {ms ^ 2} $

¿Cómo derivar Y (s) / X (s)?

Supongo que todavía quieres saber cómo derivar la función de transferencia para $ Y (s) / X (s) $. Como dijiste, no es posible separar el término $ X (s) $, pero puedes definir tu empuje de entrada como si tuviese un componente variable (controlado) $ x_c $ y un componente constante (punto de operación) $ x_ { o} $.

$ x (t) = x_c (t) + x_ {o} \ dot {} u (t) $

Entonces todo lo que tienes que hacer es configurar su punto de operación es igual a la fuerza gravitacional:

$ x_ {o} = -mg $

Esto luego se cancela con la fuerza gravitacional, lo que le permite derivar una función de transferencia entre el componente variable de tu empuje y la altitud del aerodeslizador.

$ m \ ddot {y} = x_c (t) - mg \ dot {} u (t) + mg \ dot {} u ( t) $

$ \ frac {Y (s)} {X_c (s)} = \ frac {1} {ms ^ 2} $