Pregunta:
Modelos a escala de plumas térmicas
HCAI
2015-02-09 00:01:11 UTC
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Quiero mirar la columna de calor térmico de un humano en el aire inmóvil de una habitación. Así que tengo un tanque de agua con una bobina / cilindro de calentamiento. ¿Cómo calculo cuál debe ser la salida de calor de mi bobina de calentamiento para imitar la de un humano ($ 100W $) en el aire?

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Esto se basa en la similitud dimensional entre agua: aire, número de Reynolds y número de Reyleigh. El número de Rayleigh, que gobierna la flotabilidad, viene dado por: $ \ dfrac {g \ beta} {\ nu \ alpha \ kappa} qx ^ 4 $, donde:

$ \ alpha = $ difusividad térmica $ \ beta = $ coeficiente de expansión térmica $ \ kappa = $ conductividad térmica $ \ nu = $ viscosidad cinemática $ x $ = distancia desde la superficie calentada

Pero realmente no entiendo si el número de Rayleigh es el correcto valor para intentar mantener similar entre ambos escenarios. Cualquier ayuda sería muy apreciada.

EDITAR:

Entonces, use la fórmula Q * para obtener similitudes entre los dos medios

$ \ dfrac {Q_ {air}} {\ left (\ rho C_pT _ {\ infty} g ^ {1/2} x \ right) _ {air}} = \ dfrac {Q_ {water}} {\ left (\ rho C_pT _ {\ infty} g ^ {1/2} x \ right) _ {water}} $

y reorganizando para obtener Q_water:

$ Q_ {water} = Q_ {aire} \ dfrac {\ izquierda (\ rho C_pT _ {\ infty} g ^ {1/2} x \ right) _ {agua}} {\ izquierda (\ rho C_pT _ {\ infty} g ^ {1/2} x \ right) _ {air}} $

Luego sustituyendo en:

AIR: $ \ rho = 1.225kg / m ^ 3 $, $ C_p = 1.005kJ / kg \ , K $, $ T _ {\ infty} = 21 ^ {\ circ} C $, $ x = 0.1m $, $ Q_ {air} = 100W $.

AGUA: $ \ rho = 1000kg / m ^ 3 $, $ C_p = 4.19kJ / kg \, K $, $ T _ {\ infty} = 8 ^ {\ circ} C $, $ x = 0.1m $, $ Q_ {air} =? W $ .

Obtengo $ Q_ {water} \ simeq 1.2 \ times10 ^ 4W $ ... Pero esto parece demasiado alto. ¿Puede ser esto correcto?

One responder:
#1
+8
Ben Trettel
2015-02-09 01:07:08 UTC
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Las plumas térmicas se han estudiado ampliamente para aplicaciones de seguridad contra incendios. A menudo se conoce la tasa de liberación de calor $ Q $, pero poco más. Se utiliza un grupo adimensional llamado $ Q ^ * $ (pronunciado "Q estrella") en lugar de parámetros más comunes como el número de Reynolds y el número de Rayleigh. Este parámetro se puede considerar como la fuerza de la fuente de calor a una distancia particular. Se correlaciona bien con las plumas térmicas. Puede derivar este grupo no dimensionalizando las ecuaciones de Navier-Stokes y estableciendo grupos adimensionales iguales a 1 para definir la longitud y la velocidad características. Para obtener más información, consulte el artículo de Gunnar Heskestad sobre este grupo adimensional.

En el caso del modelado de incendios, generalmente la gente ignora la similitud numérica de Prandtl y algunas otras cosas, por lo que dicen lo adimensional las distribuciones de temperatura y velocidad son solo funciones de $ Q ^ * $.

Los parámetros más relevantes son:

$$ T ^ * \ equiv \ frac {T - T_ \ infty} {T_ \ infty} $$

$$ Q ^ * \ equiv \ frac {Q} {\ rho c_p T_ \ infty (gx) ^ {1/2} x ^ 2} $$

Para ser más explícito, si conoce la temperatura ($ T $) en función de la altura ($ x $) sobre el objeto caliente, puede encontrar $ T ^ * $ en función de $ Q ^ PS $ Q ^ * $ es como una coordenada espacial adimensional.

Estrictamente hablando, su configuración no será exactamente similar porque su bobina y un humano no son geométricamente similares (y la distribución del flujo de calor en la bobina probablemente tampoco sea similar). En su foto, supongo que el humano estaría acostado si se deseara alguna similitud geométrica razonable. El campo lejano debería estar bien, y supongo que esto es lo que le interesa [2].

Tampoco está exactamente claro en qué cantidad está interesado. Supuse que desea obtener la distribución de temperatura en la pluma, digamos, a una altura $ x_1 $ por encima en realidad, que sería $ x_2 $ en su modelo. Corrígeme si esto está mal.

Además, aunque no hago experimentos, imaginé que su bobina de calentamiento tiene una salida de $ W $, no un flujo de calor. Avíseme si me equivoco y cambiaré mi respuesta.

Ignorar los otros parámetros puede o no ser válido en su caso (parece estar bien para la seguridad contra incendios [1]), así que haré el análisis asumiendo que no lo es. Puede omitir el resto si desea asumir que los dos parámetros mencionados son todo lo que necesita.

Puede obtener el número de grupos requeridos del teorema de Buckingham $ \ pi $.

Los parámetros relevantes que he identificado son $ T $ (temperatura en la altura $ x $), $ x $, $ Q $, $ g $, $ \ alpha $, $ \ beta $, $ \ nu $, $ T_ \ infty $, $ \ rho $ y $ c_p $. El teorema de Buckingham $ \ pi $ sugiere que aquí habrá 6 grupos adimensionales. (Suponiendo que no me falta un parámetro. También necesito verificar que la matriz dimensional no tenga un rango deficiente. Para obtener más detalles sobre el análisis dimensional, recomiendo leer Análisis dimensional y teoría de modelos de Henry Langhaar. .)

Entonces, los primeros 5 grupos adimensionales son:

$$ T ^ * \ equiv \ frac {T - T_ \ infty} {T_ \ infty} $$

$$ Q ^ * \ equiv \ frac {Q} {\ rho c_p T_ \ infty (gx) ^ {1/2} x ^ 2} $$

$$ Pr \ equiv \ frac {\ nu} {\ alpha} $$

$$ Gr_x \ equiv \ frac {g \ beta (T - T_ \ infty) x ^ 3} {\ nu ^ 2} $$

$$ \ rho ^ * \ equiv \ beta (T - T_ \ infty) $$

Este quinto grupo está inspirado en la aproximación de Boussinesq. En esa aproximación, la diferencia de densidad se modela como una diferencia de temperatura. La similitud en este parámetro asegura que su campo de densidad sea similar.

Para el grupo restante, necesitaba ser un poco creativo. La similitud no requiere que este grupo adopte una forma particular, pero es mejor ceñirse a parámetros con significados físicos conocidos (o parámetros que se pueden derivar de ecuaciones de gobierno, que generalmente tienen significados físicos). No se me ocurre nada bueno, pero lo siguiente funciona:

$$ \ Pi_6 \ equiv \ frac {g x} {c_p (T - T_ \ infty)} $$

Debe hacer coincidir todos estos por similitud. Debe quedar claro que igualar todos estos será un desafío. Como dije, parece ser una práctica común en seguridad contra incendios ignorar todo menos $ T ^ * $ y $ Q ^ * $. No sé si esto se debe a que los otros parámetros no importan o si es solo por conveniencia. Lo siento si esta no es la respuesta que esperaba, pero como sucede con muchas cosas en ingeniería, la respuesta no es fácil.

[1] Más tarde recordé que la no dimensionalización de las ecuaciones de Navier-Stokes sugiere que $ Q ^ * $ es el único parámetro de la solución. Entonces, tal vez $ T ^ * $ y $ Q ^ * $ sean todo lo que necesita, y el enfoque de Buckingham $ \ pi $ solo le brinda parámetros superfluos. No recuerdo todos los detalles de la no dimensionalización, pero si hay interés, estoy seguro de que podría reproducirlo.

[2] El argumento teórico que respalda el uso de $ Q ^ * $ asume que la fuente de calor es una fuente puntual. Entonces, en realidad, solo es correcto lejos, porque la temperatura llega al infinito en la fuente puntual en el modelo. Esto se debe a que $ Q ^ * $ llega al infinito en $ x = 0 $, como puede ver en su definición. Si está desarrollando una correlación, digamos $ T ^ * = a (Q ^ *) ^ b $ donde $ a $ y $ b $ son coeficientes, puede evitar esto definiendo un "origen virtual", que le permitirá para desarrollar una correlación sin singularidades. Básicamente, en lugar de usar $ x $, define use en su lugar $ x_ \ text {virtual} = x + x_ \ text {origin} $. Es decir, $ Q ^ * $ ahora se escribe:

$$ Q ^ * \ equiv \ frac {Q} {\ rho c_p T_ \ infty (g [x + x_ \ text {origin}] ) ^ {1/2} (x + x_ \ text {origin}) ^ 2} $$

Eliges $ x_ \ text {origin} $ de manera que tu correlación se ajuste mejor. Es otro parámetro en la correlación. Si conoce la temperatura de la superficie, puede elegir $ x_ \ text {origin} $ de modo que la temperatura de la superficie sea lo que devuelve la correlación en $ x = 0 $.

Además, como el argumento que respalda el uso de $ Q ^ * $ realmente hace la suposición de campo lejano desde el principio, no está claro que simplemente usar un origen virtual sea suficiente para hacer que una correlación sea válida en el campo cercano ( incluso si tienes similitud geométrica). No puedo decir si los otros factores que he identificado influyen o no.

+1 por traer un ejemplo de una disciplina diferente y resaltar suposiciones
Hola Ben, bienvenido a Engineering.SE! Esta es una excelente respuesta, ¡gran trabajo!
¡Muchas gracias de hecho! Esto es exactamente lo que esperaba y más. Sin embargo, tengo una consulta y está relacionada con el valor a elegir para x al comparar modelos, ya que es una variable local en lugar de una cantidad global. ¿Significa que debería intentar mantener Q * igual en todos los puntos de ambos dominios? De hecho, estoy interesado en la pluma muy cerca del cilindro ... ¿Cómo cambia esto el análisis o la predicción? ¡De nuevo muchas gracias por tan buena respuesta!
@HCAI: Agregué una breve parte señalando que $ Q ^ * $ toma el lugar de la coordenada espacial, por lo que es imposible hacer que $ Q ^ * $ sea constante (eso significaría que solo hay una ubicación espacial). También agregué una nota al pie sobre el uso de $ Q ^ * $ en el campo cercano. Avíseme si tiene alguna otra pregunta. Además, quiero resaltar que los experimentadores de seguridad contra incendios utilizan una técnica llamada "modelado de agua salada" que puede ser relevante para esto; pruebe algunas búsquedas en Google para obtener más información.
@BenTrettel He descubierto que el Q_water debe ser de unos 12000 W, pero parece enorme. ¿Puede ser esto correcto o he entendido completamente mal las fórmulas? (Agregué mi trabajo en la pregunta)
@HCAI Creo que el truco de esto es que el cálculo $ Q ^ * $ utilizado asume un medio (gas) con expansividad volumétrica $ \ gamma = T ^ {- 1} $. Eso está muy lejos del agua. Relacionado: ¿Hay alguna razón por la que desee utilizar agua en lugar de aire para los experimentos a escala?
@Dan ¡Oh, eso es un poco inesperado! ... ¿Hay alguna solución? ¡Si no, entonces estoy un poco atascado eek! Quería usar agua (u otro líquido viscoso) porque es más fácil usar las técnicas de visualización PIV, PTV y LDA.
Acabo de verificar, y la derivación de $ Q ^ * $ usa la aproximación de Boussinesq, que no asume que $ \ beta $ toma la forma de un gas ideal. Hasta donde yo sé, este tipo de similitud se usa en experimentos con agua salada (nuevamente, sugiero buscar artículos que detallen esto).
En cuanto a los números, parece que tiene algunos errores matemáticos. Primero, el poder en $ x $ es $ 2.5 $, no $ 1 $, aunque esto no cambiará su resultado ya que no está escalando nada en el espacio. Recibo ese $ Q_ \ text {agua} \ approx 3 \ cdot 10 ^ 5 ~ \ text {W} $, que todavía es grande. Parece que necesita reducir el tamaño de su modelo para obtener un número razonable, por ejemplo, usar $ x_ \ text {water} = 1 ~ \ text {cm} $ parece razonable (aproximadamente 1 kW).
@HCAI: Olvidé incluirte para que recibas una notificación de mi respuesta.
@BenTrettel Gracias, veo el error. El dilema que tengo es que en realidad estoy interesado en la temperatura de campo cercano. ¿Cree que la capa límite / pluma térmica se comportará realmente de manera similar entre ambos escenarios? Mi otra opción es ignorar la similitud de la entrada de calor y centrarme en la velocidad de la pluma por encima del calentador mediante la comparación de números de Reynolds. ¿Qué piensas?
@HCAI: Ciertamente habrá similitudes. La dificultad es que sin similitud geométrica no está claro cómo comparar ubicaciones, o incluso si una comparación es válida. No sé cómo responder a ninguna de las preguntas en este momento. En cuanto a concentrarse en la velocidad de la pluma por encima del calentador, no estoy muy seguro de lo que quiere decir. ¿Podría explicarnos con más detalle?


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